| 1. | The field extension Ks/K is infinite, and the Galois group is accordingly given the Krull topology.
L'extension de corps Ks/K est infinie, et le groupe de Galois se voit par conséquent attribué la topologie de Krull. |
| 2. | In essence, each field extension L/K corresponds to a factor group in a composition series of the Galois group.
Par essence même, chaque extension de corps L / K correspond à un groupe quotient dans une suite de composition du groupe de Galois. |
| 3. | In this paper he axiomatically studies the properties of fields and defines important concepts like prime field, perfect field and the transcendence degree of a field extension.
Dans cet article, il étudie la théorie axiomatique des corps commutatifs et définit des concepts importants comme ceux de corps premier, corps parfait et degré de transcendance d'une extension de corps. |
| 4. | In general a Clifford algebra C is a central simple algebra over some field extension L of the field K over which the quadratic form Q defining C is defined.
En général, une algèbre de Clifford C est une algèbre centrale simple sur une certaine extension de corps L d'un corps K sur lequel la forme quadratique Q définissant C est définie. |
| 5. | One may define field extensions of the field with one element as the group of roots of unity, or more finely (with a geometric structure) as the group scheme of roots of unity.
On peut définir des extensions du corps à un élément comme des groupes de racines de l'unité, ou (en les munissant d'une structure géométrique) comme des groupes de schémas (en). |
| 6. | Furthermore, the Galois group of a simple antiderivative is either trivial (if no field extension is required to express it), or is simply the additive group of the constants (corresponding to the constant of integration).
De plus, le groupe de Galois d'une primitive donnée est soit trivial (s'il n'est pas nécessaire d'étendre le corps pour l'exprimer), soit le groupe additif des constantes (correspondant à la constante d'intégration). |
| 7. | This field contains all nth roots of unity and is the splitting field of the nth cyclotomic polynomial over Q. The field extension Q(exp(2πi/n))/Q has degree φ(n) and its Galois group is naturally isomorphic to the multiplicative group of units of the ring Z/nZ.
Ce corps contient toutes les racines n-ièmes de l'unité et est le corps de décomposition sur ℚ du polynôme cyclotomique d'indice n. L'extension de corps F n / Q |
| 8. | This section describes the splitting of prime ideals in the field extension Q(i)/Q. That is, we take K = Q and L = Q(i), so OK is simply Z, and OL = Z is the ring of Gaussian integers.
Ce paragraphe décrit la décomposition des idéaux premiers dans l'extension de corps ℚ(i)/ℚ, c'est-à-dire que nous prenons K = ℚ et L = ℚ(i), donc OK est simplement ℤ, etOL = ℤ est l'anneau des entiers de Gauss. |
| 9. | Galois groups of infinite field extensions such as the absolute Galois group can also be equipped with a topology, the so-called Krull topology, which in turn is central to generalize the above sketched connection of fields and groups to infinite field extensions.
Les groupes de Galois d'extensions de corps infinis comme le groupe de Galois absolu peuvent aussi être équipés d'une topologie, la topologie de Krull, qui est à son tour centrale pour généraliser la connexion entre les corps et les groupes d'extensions de corps infinis esquissée plus haut. |
| 10. | Galois groups of infinite field extensions such as the absolute Galois group can also be equipped with a topology, the so-called Krull topology, which in turn is central to generalize the above sketched connection of fields and groups to infinite field extensions.
Les groupes de Galois d'extensions de corps infinis comme le groupe de Galois absolu peuvent aussi être équipés d'une topologie, la topologie de Krull, qui est à son tour centrale pour généraliser la connexion entre les corps et les groupes d'extensions de corps infinis esquissée plus haut. |
